Phương pháp:
Để xác định góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng αta thực hiện theo các bước sau:
Để xác định góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng αta thực hiện theo các bước sau:
- Tìm giao điểm $O = a \cap \left( \alpha \right)$
- Dựng hình chiếu A' của một điểm $A \in a$ xuống α
- Góc $\widehat {AOA'} = \varphi $ chính là góc giữa đường thẳng a và α.
- Để dựng hình chiếu A' của điểm A trên α ta chọn một đường thẳng $b \bot \left( \alpha \right)$ khi đó $AA'\parallel b$.
- Để tính góc $\varphi $ ta sử dung hệ thức lượng trong tam giác vuông $\Delta OAA'$. Ngoài ra nếu không xác định góc $\varphi $ thì ta có thể tính góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng α theo công thức $\sin \varphi = \frac{{\left| {\overrightarrow u .\overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|\left| {\overrightarrow n } \right|}}$ trong đó $\overrightarrow u $ là VTCP của a còn $\overrightarrow n $ là vec tơ có giá vuông góc với α.
Ví dụ vận dung
Câu 1: Cho tứ diện ABCD có cạnh AB, BC, BD bằng nhau và vuông góc với nhau từng đôi một. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Góc giữa AC và $\left( {BCD} \right)$ là góc ACB.
B. Góc giữa AD và $\left( {ABC} \right)$ là góc ADB.
C. Góc giữa AC và $\left( {ABD} \right)$ là góc CAB.
D. Góc giữa CD và $\left( {ABD} \right)$ là góc CBD.
Chọn A
Từ giả thiết ta có $\left\{ \begin{array}{l}AB \bot BC\\AB \bot CD\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {BCD} \right)$.
Do đó $\left( {AC,\left( {BCD} \right)} \right) = \widehat {ACB}$.
Từ giả thiết ta có $\left\{ \begin{array}{l}AB \bot BC\\AB \bot CD\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {BCD} \right)$.
Do đó $\left( {AC,\left( {BCD} \right)} \right) = \widehat {ACB}$.
A. $30^\circ $.
B. $45^\circ $.
C. $60^\circ $.
D. $90^\circ $.
Chọn D
$SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow \left( {SA,\left( {ABC} \right)} \right) = 90^\circ $.
A. Góc giữa CD và $\left( {ABD} \right)$ là góc $\widehat {CBD}$.
B. Góc giữa AC và $\left( {BCD} \right)$ là góc $\widehat {ACB}$.
C. Góc giữa AD và $\left( {ABC} \right)$ là góc $\widehat {ADB}$.
D. Góc giữa AC và $\left( {ABD} \right)$ là góc $\widehat {CBA}$.
Do $AB,{\rm{ }}BC,{\rm{ }}BD$ vuông góc với nhau từng đôi một nên $AB \bot \left( {BCD} \right)$, suy ra BC là hình chiếu của AC lên $\left( {BCD} \right)$.
Chọn B
Chọn B
A. $30^\circ $.
B. $45^\circ $.
C. $60^\circ $.
D. $75^\circ $.
Chọn C
Gọi H là trung điểm của BC suy ra
$AH = BH = CH = \frac{1}{2}BC = \frac{a}{2}$.
Ta có: $SH \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SH = \sqrt {S{B^2} - B{H^2}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$.
$\widehat {\left( {SA,\left( {ABC} \right)} \right)} = \widehat {SAH} = \alpha $
$ \Rightarrow \tan \alpha = \frac{{SH}}{{AH}} = \sqrt 3 \Rightarrow \alpha = 60^\circ $.
Gọi H là trung điểm của BC suy ra
$AH = BH = CH = \frac{1}{2}BC = \frac{a}{2}$.
Ta có: $SH \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SH = \sqrt {S{B^2} - B{H^2}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$.
$\widehat {\left( {SA,\left( {ABC} \right)} \right)} = \widehat {SAH} = \alpha $
$ \Rightarrow \tan \alpha = \frac{{SH}}{{AH}} = \sqrt 3 \Rightarrow \alpha = 60^\circ $.
A. $30^\circ $.
B. $45^\circ $.
C. $60^\circ $.
D. $75^\circ $.
Chọn A
Ta có: $SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot AC$
$ \Rightarrow \widehat {\left( {SC;\left( {ABCD} \right)} \right)} = \widehat {SCA} = \alpha $
ABCD là hình vuông cạnh a $ \Rightarrow AC = a\sqrt 2 ,SA = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}$ $ \Rightarrow \tan \alpha = \frac{{SA}}{{AC}} = \frac{{\sqrt 3 }}{3} \Rightarrow \alpha = 30^\circ $.
Ta có: $SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot AC$
$ \Rightarrow \widehat {\left( {SC;\left( {ABCD} \right)} \right)} = \widehat {SCA} = \alpha $
ABCD là hình vuông cạnh a $ \Rightarrow AC = a\sqrt 2 ,SA = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}$ $ \Rightarrow \tan \alpha = \frac{{SA}}{{AC}} = \frac{{\sqrt 3 }}{3} \Rightarrow \alpha = 30^\circ $.
A. ${60^0}$
B. ${75^0}$
C. ${45^0}$
D. ${30^0}$
Do H là hình chiếu của S lên mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ nên $SH \bot \left( {ABC} \right)$
Vậy AH là hình chiếu của SH lên mp $\left( {ABC} \right)$
$ \Rightarrow \left( {SA;\left( {ABC} \right)} \right) = \left( {SA;AH} \right) = \widehat {SAH}$
Ta có: $SH \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SH \bot AH$
Mà: ∆ABC = ∆SBC => SH = AH. Vậy tam giác $SAH$ vuông cân tại H $ \Rightarrow \widehat {SAH} = {45^0}$
A. $30^\circ $.
B. $45^\circ $.
C. $60^\circ $.
D. $75^\circ $.
Chọn B
Ta có: $AC = 2a;BD = 2{\rm{A}}C = 4a \Rightarrow OB = 2a$
$ \Rightarrow \tan \widehat {SBO} = \frac{{SO}}{{OB}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow SO = \frac{1}{2}OB = a$.
Mặt khác $\widehat {\left( {SC,\left( {ABCD} \right)} \right)} = \widehat {SCO};\frac{{SO}}{{OC}} = \frac{a}{a} = 1$
Suy ra số đo của góc giữa SC và $\left( {ABCD} \right)$ bằng $45^\circ $.
Ta có: $AC = 2a;BD = 2{\rm{A}}C = 4a \Rightarrow OB = 2a$
$ \Rightarrow \tan \widehat {SBO} = \frac{{SO}}{{OB}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow SO = \frac{1}{2}OB = a$.
Mặt khác $\widehat {\left( {SC,\left( {ABCD} \right)} \right)} = \widehat {SCO};\frac{{SO}}{{OC}} = \frac{a}{a} = 1$
Suy ra số đo của góc giữa SC và $\left( {ABCD} \right)$ bằng $45^\circ $.
A. $30^\circ $.
B. $45^\circ $.
C. $60^\circ $.
D. $75^\circ $.
Chọn B
Ta có:
$SH \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SH \bot AH \Rightarrow \widehat {\left( {SA;\left( {ABC} \right)} \right)} = \widehat {SAH} = \alpha $.
ΔABC và ΔSBC là hai tam giác đều cạnh a $ \Rightarrow AH = SH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$
$ \Rightarrow AH = SH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow \Delta SHA$ vuông cân tại H $ \Rightarrow \alpha = 45^\circ $.
A. $\alpha = {30^0}.$
B. $\cos \alpha = \frac{{\sqrt 3 }}{3}.$
C. $\alpha = {45^0}.$
D. $\alpha = {60^0}.$
Vì $SA \bot (ABCD)$ nên AC là hình chiếu vuông góc của SC lên $(ABCD).$
$ \Rightarrow $ Góc giữa giữa SC và mp $(ABCD)$bằng góc $SC\& AC.$$ \Rightarrow \alpha = \widehat {SCA}.$
Xét tam giác SAC vuông tại A có:$\tan \alpha = \frac{{SA}}{{AC}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{{a\sqrt 2 }} = \sqrt 3 \Rightarrow \alpha = {60^0}.$
A. ${30^0}.$
B. ${60^0}.$
C. ${75^0}.$
D. ${45^0}.$
Tứ giác ABCD là hình vuông cạnh a nên $AC = a\sqrt {2.} $
$SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow AC$ là hình chiếu vuông góc của SC lên $\left( {ABCD} \right) \Rightarrow \widehat {SCA}$ là góc giữa SC và $\left( {ABCD} \right).$
Tam giác SAC vuông tại A nên $\tan \widehat {SCA} = \frac{{SA}}{{AC}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}.\frac{1}{{a\sqrt 2 }} = \frac{1}{{\sqrt 3 }} \Rightarrow \widehat {SCA} = {30^0}.$
Chọn A
A. $\alpha {\rm{ }} = {\rm{ }}{30^0}.$
B. $\tan \alpha = \frac{2}{{\sqrt 3 }}.$
C. $\alpha {\rm{ }} = {\rm{ }}{45^0}.$
D. $\tan \alpha = \sqrt 2 .$
Gọi $\left\{ \begin{array}{l}A'C \cap AC' = I\\C'D \cap CD' = H\end{array} \right.$
mà $\left\{ \begin{array}{l}C'D \bot CD'\\C'D \bot A'D'\end{array} \right. \Rightarrow C'D \bot \left( {A'BCD'} \right) \Rightarrow IH$ là hình chiếu vuông góc của AC′ lên $\left( {A'BCD'} \right) \Rightarrow \widehat {C'IH}$là góc giữa AC′ và (A'BCD') Mà $\tan \widehat {C'IH} = \frac{{C'H}}{{IH}} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}.2 = \sqrt 2 .$
Chọn D
A. $65^\circ $.
B. $90^\circ $.
C. $45^\circ $.
D. $120^\circ $.
Gọi $I = AH \cap BC$. Ta có $\left\{ \begin{array}{l}BC \bot SA\\BC \bot AI\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot (SAI) \Rightarrow (SBC) \bot (SAI)$ và $K \in SI$.
Ta lại có $\left\{ \begin{array}{l}SB \bot CK\\SB \bot CH\end{array} \right. \Rightarrow SB \bot (CHK) \Rightarrow (SBC) \bot (CHK)$.
Mà $HK = (SAI) \cap (SHK)$, suy ra $HK \bot (SBC)$
$ \to $ Chọn B
Ta lại có $\left\{ \begin{array}{l}SB \bot CK\\SB \bot CH\end{array} \right. \Rightarrow SB \bot (CHK) \Rightarrow (SBC) \bot (CHK)$.
Mà $HK = (SAI) \cap (SHK)$, suy ra $HK \bot (SBC)$
$ \to $ Chọn B
A. H là trực tâm tam giác ABC.
B. H là trọng tâm tam giác ABC.
C. H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
D. H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
Do hình chóp S.ABC có SA = SB = SC và SH ⊥ (ABC) nên SH là trục của hình chóp S.ABC = > HA = HB = HC. Nên H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Vậy Chọn C
A. Vuông cân.
B. Đều.
C. Cân nhưng không vuông.
D. Vuông nhưng không cân.
Xét $\Delta SAB$ có $A{B^2} = S{A^2} + S{B^2} - 2SA.SB.\cos \widehat {ASB} = 3{a^2} \Rightarrow AB = a\sqrt 3 $.
ΔSBC đều $ \Rightarrow BC = a.$
$\Delta SAC$ có $AB = \sqrt {S{A^2} + S{C^2}} = a\sqrt 2 $.
Từ đó ΔABC vuông tại C.
Vậy Chọn D
ΔSBC đều $ \Rightarrow BC = a.$
$\Delta SAC$ có $AB = \sqrt {S{A^2} + S{C^2}} = a\sqrt 2 $.
Từ đó ΔABC vuông tại C.
Vậy Chọn D
A. IO⊥(ABCD).
B. $BC \bot SB.$
C. (SAC) là mặt phẳng trung trực của đoạn BD.
D. Tam giác CD vuông ở D.
Có IO là đường trung bình tam giác SAC nên IO//SA nên IO⊥(ABCD). Phương án A đúng.
Có $\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\\BC \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot SB$. Phương án B đúng
Và $\left\{ \begin{array}{l}CD \bot AD\\CD \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot SD$ nên phương án D đúng.
Phương án C sai. Thật vậy nếu (SAC) là mặt phẳng trung trực của BD $ \Rightarrow BD \bot AC$(vô lý).
Vậy Chọn C
Bản đầy đủ các dạng vecto trong không gian
Sửa lần cuối: