Phương pháp áp dụng
Cho hàm số: f(x) = $\left\{ \begin{array}{l}{f_1}(x)\,\,khi\,\,x \ne {x_0}\\{f_2}(x)\,\,khi\,\,x = {x_0}\end{array} \right.$.
Để tính đạo hàm của hàm số tại điểm x0, ta xác định: f '(x$_O$) = $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}}$ - $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{{f_1}(x) - {f_2}({x_0})}}{{x - {x_0}}}$.
Thí dụ 1: Cho hàm số: f(x) = $\left\{ \begin{array}{l}\frac{{{{\sin }^2}x}}{x}\,\,\,\,khi\,\,x \ne 0\\0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x = 0\end{array} \right.$ tại x0 = 0.
a. Chứng minh rằng f(x) liên tục tại x = 0.
b. Tính đạo hàm, nếu có, của f(x) tại điểm x = 0.
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} $f(x) = $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} $$\frac{{{{\sin }^2}x}}{x}$ = $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} $($\frac{{\sin x}}{x}$.sinx) = 0 = f(0).
b. Ta có: f'(0) = $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f(x) - f(0)}}{{x - 0}}$ = $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} $$\frac{{{{\sin }^2}x}}{{{x^2}}}$ = 1.
Thí dụ 2: Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số: f(x) = $\left\{ \begin{array}{l}{x^2}\cos \frac{1}{x}\,\,\,\,\,\,khi\,\,x \ne 0\\0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x = 0\end{array} \right.$ tại điểm x$_0$ = 0.
Ta có: f '(0) = $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f(x) - f(0)}}{{x - 0}}$ = $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} x.\cos \frac{1}{x}$.
Ta có:
* Với mọi x ≠ 0 thuộc lân cận của điểm 0 luôn có: |x.cos$\frac{1}{x}$| ≤ |x| <=> - |x| ≤ x.cos$\frac{1}{x}$ ≤ |x|.
* Mặt khác $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} $( - |x|) = $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} $|x| = 0.
Suy ra: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} x.\cos \frac{1}{x}$ = 0 => f '(0) = 0.
Cho hàm số: f(x) = $\left\{ \begin{array}{l}{f_1}(x)\,\,khi\,\,x \ne {x_0}\\{f_2}(x)\,\,khi\,\,x = {x_0}\end{array} \right.$.
Để tính đạo hàm của hàm số tại điểm x0, ta xác định: f '(x$_O$) = $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}}$ - $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{{f_1}(x) - {f_2}({x_0})}}{{x - {x_0}}}$.
Thí dụ 1: Cho hàm số: f(x) = $\left\{ \begin{array}{l}\frac{{{{\sin }^2}x}}{x}\,\,\,\,khi\,\,x \ne 0\\0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x = 0\end{array} \right.$ tại x0 = 0.
a. Chứng minh rằng f(x) liên tục tại x = 0.
b. Tính đạo hàm, nếu có, của f(x) tại điểm x = 0.
Giải
a. Nhận xét hàm số f(x) liên tục tại x0 = 0, bởi:$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} $f(x) = $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} $$\frac{{{{\sin }^2}x}}{x}$ = $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} $($\frac{{\sin x}}{x}$.sinx) = 0 = f(0).
b. Ta có: f'(0) = $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f(x) - f(0)}}{{x - 0}}$ = $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} $$\frac{{{{\sin }^2}x}}{{{x^2}}}$ = 1.
Thí dụ 2: Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số: f(x) = $\left\{ \begin{array}{l}{x^2}\cos \frac{1}{x}\,\,\,\,\,\,khi\,\,x \ne 0\\0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x = 0\end{array} \right.$ tại điểm x$_0$ = 0.
Giải
Hàm số f(x) xác định trong một lân cận của x0 = 0.Ta có: f '(0) = $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f(x) - f(0)}}{{x - 0}}$ = $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} x.\cos \frac{1}{x}$.
Ta có:
* Với mọi x ≠ 0 thuộc lân cận của điểm 0 luôn có: |x.cos$\frac{1}{x}$| ≤ |x| <=> - |x| ≤ x.cos$\frac{1}{x}$ ≤ |x|.
* Mặt khác $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} $( - |x|) = $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} $|x| = 0.
Suy ra: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} x.\cos \frac{1}{x}$ = 0 => f '(0) = 0.
Sửa lần cuối: