Phương pháp:
Để tính góc giữa hai mặt phẳng H và (β) ta có thể thực hiện theo một trong các cách sau:
Cách 1. Tìm hai đường thẳng MN lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng H và Ox,Oy,Oz. Khi đó góc giữa hai đường thẳng A,B,C chính là góc giữa hai mặt phẳng OA = OB + OC = 1 và OABC.
$\widehat {OBA} + \widehat {ABC} + \widehat {OCB}$.
Cách 2. Tìm hai vec tơ ABC.A'B'C' có giá lần lượt vuông góc với $AB = AC = a,AA' = a\sqrt 2 $ và M khi đó góc giữa hai mặt phẳng AB và (α) xác định bởi M.
Cách 3. Sử dụng công thức hình chiếu $B'C$, từ đó để tính $\cos \varphi $ thì ta cần tính a và b.
Cách 4. Xác định cụ thể góc giữa hai mặt phẳng rồi sử dụng hệ thức lượng trong tam giác để tính. Ta thường xác định góc giữa hai mặt phẳng theo một trong hai cách sau:
a)
Để tính góc giữa hai mặt phẳng H và (β) ta có thể thực hiện theo một trong các cách sau:
Cách 1. Tìm hai đường thẳng MN lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng H và Ox,Oy,Oz. Khi đó góc giữa hai đường thẳng A,B,C chính là góc giữa hai mặt phẳng OA = OB + OC = 1 và OABC.
$\widehat {OBA} + \widehat {ABC} + \widehat {OCB}$.
Cách 2. Tìm hai vec tơ ABC.A'B'C' có giá lần lượt vuông góc với $AB = AC = a,AA' = a\sqrt 2 $ và M khi đó góc giữa hai mặt phẳng AB và (α) xác định bởi M.
Cách 3. Sử dụng công thức hình chiếu $B'C$, từ đó để tính $\cos \varphi $ thì ta cần tính a và b.
Cách 4. Xác định cụ thể góc giữa hai mặt phẳng rồi sử dụng hệ thức lượng trong tam giác để tính. Ta thường xác định góc giữa hai mặt phẳng theo một trong hai cách sau:
a)
- Tìm giao tuyến M,N
- Chọn mặt phẳng AB,BC
- Tìm các giao tuyến (α)
- $\widehat {\left( {\left( \alpha \right),\left( \beta \right)} \right)} = \widehat {\left( {a,b} \right)}$
- Tìm giao tuyến SB
- Lấy M, N, P.Dựng hình chiếu AB,BC,C'D' của ABCD.A'B'C'D' trên MN
- Dựng BD.
Câu 1: Cho tứ diện ABCD có AC = AD và BC = BD. Gọi I là trung điểm của CD. Khẳng định nào sau đây sai?
A. Góc giữa hai mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ và $\left( {ABD} \right)$ là $\widehat {CBD}$.
B. Góc giữa hai mặt phẳng $\left( {ACD} \right)$ và $\left( {BCD} \right)$ là $\widehat {AIB}$.
C. $\left( {BCD} \right) \bot \left( {AIB} \right)$.
D. $\left( {ACD} \right) \bot \left( {AIB} \right)$.
Tam giác BCD cân tại B có I trung điểm đáy CD =>$CD \bot BI$ (1)
Tam giác ACD cân tại A có I trung điểm đáy CD =>$CD \bot AI$ (2)
(1) và (2) =>$CD \bot \left( {ABI} \right)$. Vậy A: sai
Chọn A
A. ${60^0}$.
B. ${45^0}$.
C. ${90^0}$.
D. ${30^0}$.
Ta có $CH = \frac{{CS.CA}}{{\sqrt {C{S^2} + C{A^2}} }} = a;\,(\,CA = 2AI = a\sqrt 3 )$ ; $IK = \frac{1}{2}CH = \frac{1}{2}a = IB = ID$.
với H là hình chiếu của C lên SA, K là hình chiếu của I lên SA.
Vậy chọn đáp án C.
A. $\cos \alpha = \frac{1}{3}$.
B. $\cos \alpha = \frac{1}{4}$.
C. $\alpha = {60^0}$.
D. $\cos \alpha = \frac{1}{5}$.
Đặt AB = a. Gọi I là trung điểm của AB.
Tam giác ABC đều cạnh a nên $CI \bot AB$ và $CI = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$.
Tam giác $ABD$ đều nên $DI \bot AB$ và $DI = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$.
Do đó, $\left( {\left( {ABC} \right),\left( {ABD} \right)} \right) = \left( {CI,DI} \right) = \widehat {CID} = \alpha $.
Tam giác $CID$ có $\cos \alpha = \frac{{I{C^2} + I{D^2} - C{D^2}}}{{2.IC.ID}} = \frac{{\frac{{3{a^2}}}{4} + \frac{{3{a^2}}}{4} - {a^2}}}{{2.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}}} = \frac{{\frac{{{a^2}}}{2}}}{{\frac{{3{a^2}}}{2}}} = \frac{1}{3}$. Chọn A.
Tam giác ABC đều cạnh a nên $CI \bot AB$ và $CI = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$.
Tam giác $ABD$ đều nên $DI \bot AB$ và $DI = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$.
Do đó, $\left( {\left( {ABC} \right),\left( {ABD} \right)} \right) = \left( {CI,DI} \right) = \widehat {CID} = \alpha $.
Tam giác $CID$ có $\cos \alpha = \frac{{I{C^2} + I{D^2} - C{D^2}}}{{2.IC.ID}} = \frac{{\frac{{3{a^2}}}{4} + \frac{{3{a^2}}}{4} - {a^2}}}{{2.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}}} = \frac{{\frac{{{a^2}}}{2}}}{{\frac{{3{a^2}}}{2}}} = \frac{1}{3}$. Chọn A.
A. $\frac{1}{2}$.
B. $\frac{1}{3}$.
C. $\frac{1}{{\sqrt 3 }}$.
D. $\frac{1}{{\sqrt 2 }}$.
Chọn C.
Giả sử gọi hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh đều bằng a là S.ABCD có đường cao $SH$.
Ta có: $\left( {SCD} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = CD$. Gọi M là trung điểm CD.
Dễ chứng minh được $SM \bot CD$ và $HM \bot CD$ $ \Rightarrow \left( {\left( {SCD} \right),\left( {ABCD} \right)} \right) = \left( {SM,HM} \right) = \widehat {SMH} = \alpha $.
Từ giả thiết suy ra $\Delta SCD$ là tam giác đều cạnh a có $SM$ là đường trung tuyến $ \Rightarrow SM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$.
$ \Rightarrow \cos \alpha = \frac{{HM}}{{SM}} = \frac{{\frac{a}{2}}}{{\frac{{a\sqrt 3 }}{2}}} = \frac{1}{{\sqrt 3 }}$.
Giả sử gọi hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh đều bằng a là S.ABCD có đường cao $SH$.
Ta có: $\left( {SCD} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = CD$. Gọi M là trung điểm CD.
Dễ chứng minh được $SM \bot CD$ và $HM \bot CD$ $ \Rightarrow \left( {\left( {SCD} \right),\left( {ABCD} \right)} \right) = \left( {SM,HM} \right) = \widehat {SMH} = \alpha $.
Từ giả thiết suy ra $\Delta SCD$ là tam giác đều cạnh a có $SM$ là đường trung tuyến $ \Rightarrow SM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$.
$ \Rightarrow \cos \alpha = \frac{{HM}}{{SM}} = \frac{{\frac{a}{2}}}{{\frac{{a\sqrt 3 }}{2}}} = \frac{1}{{\sqrt 3 }}$.
A. $SC \bot \left( {ABC} \right)$.
B. $O \in SH$.
C. $\left( {SAH} \right) \bot \left( {SBC} \right)$.
D. $\left( {\widehat {\left( {SBC} \right),\left( {ABC} \right)}} \right) = \widehat {SBA}$.
Ta có $\left. \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABC} \right)\\\left( {SAC} \right) \bot \left( {ABC} \right)\\\left( {SAB} \right) \cap \left( {SAC} \right) = SA\end{array} \right\} \Rightarrow SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot BC$.
$\left. \begin{array}{l}BC \bot AH\\BC \bot SA\end{array} \right\} \Rightarrow BC \bot \left( {SAH} \right) \Rightarrow BC \bot SH$.
Mặt khác, $AH \bot BC$ nên $\left( {\left( {SBC} \right),\left( {ABC} \right)} \right) = \left( {SH,AH} \right) = \widehat {SHA}$. Chọn D.
A. ${90^{\rm{o}}}.$
B. ${60^{\rm{o}}}.$
C. ${30^{\rm{o}}}.$
D. ${45^{\rm{o}}}.$
$\Delta BCD$ đều nên $DE \bot BC$. Mặt khác $OF{\rm{//}}DE \Rightarrow BC \bot OF$ (1).
Do $SO \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow BC \bot SO$ (2).
Từ (1) và (2), suy ra $BC \bot \left( {SOF} \right) \Rightarrow \left( {SBC} \right) \bot \left( {SOF} \right).$
Vậy, góc giữa$\left( {SOF} \right)$ và $\left( {SBC} \right)$ bằng ${90^{\rm{o}}}.$
A. ${30^o}$.
B. ${90^o}$.
C. ${60^o}$.
D. ${45^o}$.
Gọi H là chân đường vuông góc của S xuống mặt phẳng đáy $\left( {ABCD} \right)$ ($SH \bot \left( {ABCD} \right)$)
$SA = SB = SC = a$ => các hình chiếu: $HA = HB = HC$ =>H là tâm đường tròn $\left( {ABC} \right)$
Mà tam giác ABC cân tại B (vì $BA = BC = a$) => tâm H phải nằm trên BD =>$SH \subset \left( {SBD} \right)$
Vậy có $\left. \begin{array}{l}SH \bot \left( {ABCD} \right)\\SH \subset \left( {SBD} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow \left( {SBD} \right) \bot \left( {ABCD} \right)$ nên góc $\left[ {\left( {SBD} \right),\left( {ABCD} \right)} \right] = {90^o}$.
Chọn B
A. ${90^0}$.
B. ${60^0}$.
C. ${45^0}$.
D. ${30^0}$.
Gọi $M'$ là trung điểm $OC$. Có ${S_{\Delta MBD}} = \frac{1}{2}MO.BD = \frac{1}{2}.\frac{a}{2}.a\sqrt 2 = \frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{4}$ ;
${S_{\Delta BM'D}} = \frac{1}{2}M'O.BD = \frac{1}{2}.\frac{1}{4}.a\sqrt 2 .a\sqrt 2 = \frac{{{a^2}}}{4}$. Do đó $\cos \alpha = \frac{{{S_{\Delta BM'D}}}}{{{S_{\Delta BMD}}}} = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow \alpha = {45^0}$
Vậy chọn đáp án C.
A. $\left( {ABC} \right)$ tạo với (P) góc ${45^0}$.
B. BC tạo với (P) góc ${30^0}$.
C. BC tạo với (P) góc ${45^0}$.
D. BC tạo với (P) góc ${60^0}$.
Gọi H là hình chiếu vuông góc của C lên mặt phẳng (P).
Khi đó, $\left( {AC,\left( P \right)} \right) = \left( {AC,AH} \right) = \widehat {CAH} = {60^0}$ và $\left( {BC,\left( P \right)} \right) = \left( {BC,AH} \right) = \widehat {CBH} = \alpha $.
Tam giác $AHC$ vuông tại H nên $\sin \widehat {CAH} = \frac{{CH}}{{AC}} \Rightarrow CH = AC.\sin \widehat {CAH} = a\sqrt 2 .\sin {60^0} = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}$.
Tam giác $CHB$ vuông tại H nên $\sin \alpha = \frac{{CH}}{{BC}} = \frac{{\frac{{a\sqrt 6 }}{2}}}{{\sqrt {{a^2} + {{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2}} }} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow \alpha = {45^0}$.
Chọn C.
A. $\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABC} \right)$.
B. $\left( {SAB} \right) \bot \left( {SAC} \right)$.
C. Vẽ $AH \bot BC,{\rm{ }}H \in BC \Rightarrow $ góc $AHS$ là góc giữa hai mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$ và $\left( {ABC} \right)$.
D. Góc giữa hai mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$ và $\left( {SAC} \right)$ là góc $\widehat {SCB}$.
Chọn D.
Ta có: $SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow \left( {SAB} \right) \bot \left( {ABC} \right)$ nên đáp án A đúng.
$AB \bot AC,AB \bot SA \Rightarrow AB \bot \left( {SAC} \right)$ $ \Rightarrow \left( {SAB} \right) \bot \left( {SAC} \right)$. Nên đáp án B đúng
$AH \bot BC;BC \bot SA \Rightarrow BC \bot \left( {SAH} \right)$ $ \Rightarrow SH \bot BC \Rightarrow \left( {\widehat {\left( {SBC} \right),\left( {ABC} \right)}} \right) = \widehat {SHA}$.
Nên đáp án C đúng.
Ta có: $\left( {SBC} \right) \cap \left( {SAC} \right) = SC$ nên đáp án D sai.
Ta có: $SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow \left( {SAB} \right) \bot \left( {ABC} \right)$ nên đáp án A đúng.
$AB \bot AC,AB \bot SA \Rightarrow AB \bot \left( {SAC} \right)$ $ \Rightarrow \left( {SAB} \right) \bot \left( {SAC} \right)$. Nên đáp án B đúng
$AH \bot BC;BC \bot SA \Rightarrow BC \bot \left( {SAH} \right)$ $ \Rightarrow SH \bot BC \Rightarrow \left( {\widehat {\left( {SBC} \right),\left( {ABC} \right)}} \right) = \widehat {SHA}$.
Nên đáp án C đúng.
Ta có: $\left( {SBC} \right) \cap \left( {SAC} \right) = SC$ nên đáp án D sai.
A. Góc SBA.
B. Góc SCA.
C. Góc SCB.
D. Góc SIA.
Chọn A.
Ta có: $BC \bot SA,BC \bot AB \Rightarrow BC \bot SB$
$ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC}\\{AB \bot BC,AB \subset \left( {ABC} \right)}\\{SB \bot BC,SB \subset \left( {SBC} \right)}\end{array}} \right.$ $ \Rightarrow \widehat {\left( {\left( {SBC} \right),\left( {ABC} \right)} \right)} = \widehat {SBA}$.
A. Góc giữa hai mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$ và $\left( {ABCD} \right)$ là góc $\widehat {ABS}$.
B. Góc giữa hai mặt phẳng $\left( {SBD} \right)$ và $\left( {ABCD} \right)$ là góc $\widehat {SOA}$.
C. Góc giữa hai mặt phẳng $\left( {SAD} \right)$ và $\left( {ABCD} \right)$ là góc $\widehat {SDA}$.
D. $\left( {SAC} \right) \bot \left( {SBD} \right)$.
Chọn C.
Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {SAD} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = AD}\\{AB \bot AD,AB \subset \left( {ABCD} \right)}\\{SA \bot A{\rm{D}},SA \subset \left( {SAD} \right)}\end{array}} \right.$ $ \Rightarrow \widehat {\left( {\left( {SAD} \right),\left( {ABCD} \right)} \right)} = \widehat {SAB}$.
Nên đáp án C sai.
Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {SAD} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = AD}\\{AB \bot AD,AB \subset \left( {ABCD} \right)}\\{SA \bot A{\rm{D}},SA \subset \left( {SAD} \right)}\end{array}} \right.$ $ \Rightarrow \widehat {\left( {\left( {SAD} \right),\left( {ABCD} \right)} \right)} = \widehat {SAB}$.
Nên đáp án C sai.
A. $\frac{{\sqrt 3 }}{2}$.
B. $\frac{{\sqrt 3 }}{{\sqrt 2 }}$.
C. $\frac{{\sqrt 6 }}{6}$.
D. $\sqrt 6 $.
Chọn D.
Gọi M là trung điểm của CD.
Khi đó $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{CD \bot OM}\\{CD \bot SO}\end{array}} \right.$
$ \Rightarrow CD \bot SM \Rightarrow \widehat {\left( {\left( {SCD} \right),\left( {ABCD} \right)} \right)} = \widehat {SMO} = \alpha $.
Ta có: $R = OA = a \Rightarrow AC = 2a \Rightarrow AB = AD = a\sqrt 2 $.
$ \Rightarrow OM = \frac{{a\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow \tan \alpha = \frac{{SO}}{{OM}} = \sqrt 6 $.
Gọi M là trung điểm của CD.
Khi đó $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{CD \bot OM}\\{CD \bot SO}\end{array}} \right.$
$ \Rightarrow CD \bot SM \Rightarrow \widehat {\left( {\left( {SCD} \right),\left( {ABCD} \right)} \right)} = \widehat {SMO} = \alpha $.
Ta có: $R = OA = a \Rightarrow AC = 2a \Rightarrow AB = AD = a\sqrt 2 $.
$ \Rightarrow OM = \frac{{a\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow \tan \alpha = \frac{{SO}}{{OM}} = \sqrt 6 $.
A. $\alpha = {\rm{6}}{0^0}$.
B. $\cos \alpha = \frac{1}{{3\sqrt 5 }}$.
C. $\cos \alpha = \frac{1}{{4\sqrt 5 }}$.
D. $\cos \alpha = \frac{1}{{2\sqrt 5 }}$.
C
Gọi O là tâm của tam giác đều ABC
Gọi $CO \cap AB = H$suy ra H là trung điểm AB( vì $\Delta ABC$đều)
$ \Rightarrow OH \bot AB$và $OH = \frac{1}{3}CH = \frac{1}{3}.\frac{{AB\sqrt 3 }}{2} = \frac{{AB\sqrt 3 }}{6}$
Tìm góc giữa $\left( {SAB} \right)$ và $\left( {ABC} \right)$
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {SAB} \right) \cap \left( {ABC} \right) = AB}\\{OH \bot AB}\\{SO \bot AB{\rm{ }}\left( {SO \bot (ABC)} \right){\rm{ }}}\end{array}} \right.$
$ \Rightarrow SH \bot AB$ (1)
Ta có
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {SAB} \right) \cap \left( {ABC} \right) = AB}\\{OH \bot AB,{\rm{ }}OH \subset (ABC)}\\{SH \bot AB,SH \subset (SAB){\rm{ }}}\end{array}} \right.$
$ \Rightarrow \left( {\widehat {(SAB);(ABC)}} \right) = \left( {\widehat {SH;OH}} \right) = \widehat {SHO} = \alpha $
Từ (1) suy ra $SH = \sqrt {S{A^2} - A{H^2}} = \sqrt {{{\left( {2AB} \right)}^2} - {{\left( {\frac{{AB}}{2}} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt {15} }}{2}AB$
Từ đó ta có :$\cos \alpha = \frac{{OH}}{{SH}} = \frac{{\frac{{\sqrt 3 }}{6}AB}}{{\frac{{\sqrt {15} }}{2}AB}} = \frac{1}{{3\sqrt 5 }}$
Chọn B
Gọi O là tâm của tam giác đều ABC
Gọi $CO \cap AB = H$suy ra H là trung điểm AB( vì $\Delta ABC$đều)
$ \Rightarrow OH \bot AB$và $OH = \frac{1}{3}CH = \frac{1}{3}.\frac{{AB\sqrt 3 }}{2} = \frac{{AB\sqrt 3 }}{6}$
Tìm góc giữa $\left( {SAB} \right)$ và $\left( {ABC} \right)$
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {SAB} \right) \cap \left( {ABC} \right) = AB}\\{OH \bot AB}\\{SO \bot AB{\rm{ }}\left( {SO \bot (ABC)} \right){\rm{ }}}\end{array}} \right.$
$ \Rightarrow SH \bot AB$ (1)
Ta có
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {SAB} \right) \cap \left( {ABC} \right) = AB}\\{OH \bot AB,{\rm{ }}OH \subset (ABC)}\\{SH \bot AB,SH \subset (SAB){\rm{ }}}\end{array}} \right.$
$ \Rightarrow \left( {\widehat {(SAB);(ABC)}} \right) = \left( {\widehat {SH;OH}} \right) = \widehat {SHO} = \alpha $
Từ (1) suy ra $SH = \sqrt {S{A^2} - A{H^2}} = \sqrt {{{\left( {2AB} \right)}^2} - {{\left( {\frac{{AB}}{2}} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt {15} }}{2}AB$
Từ đó ta có :$\cos \alpha = \frac{{OH}}{{SH}} = \frac{{\frac{{\sqrt 3 }}{6}AB}}{{\frac{{\sqrt {15} }}{2}AB}} = \frac{1}{{3\sqrt 5 }}$
Chọn B