Câu 1: Cho hình chóp tam giác S.ABC với SA vuông góc với $\left( {ABC} \right)$ và $SA{\rm{ }} = {\rm{ }}3a.$ Diện tích tam giác ABC bằng $2{a^2},BC = a$. Khoảng cách từ S đến BC bằng bao nhiêu?
A. 2a.
B. 4a.
C. 3a.
D. 5a.
Kẻ $AH$ vuông góc với $BC:$ ${S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AH.BC \to AH = \frac{{2.{S_{\Delta ABC}}}}{{BC}} = \frac{{4{a^2}}}{a} = 4a$
Khoảng cách từ S đến BC chính là SH
Dựa vào tam giác vuông $\Delta SAH$ ta có $SH = \sqrt {S{A^2} + A{H^2}} = \sqrt {{{(3a)}^2} + {{(4a)}^2}} = 5a$
Câu 2: Cho hình chóp S.ABCD trong đó $SA,{\rm{ }}AB,{\rm{ }}BC$ đôi một vuông góc và SA = AB = BC = 1. Khoảng cách giữa hai điểm S và C nhận giá trị nào trong các giá trị sau ?
A. $\sqrt 2 .$
B. $\sqrt 3 .$
C. 2.
D. $\frac{{\sqrt 3 }}{2}.$
Do $\left\{ \begin{array}{l}SA \bot AB\\SA \bot BC\end{array} \right.$ nên $SA \bot (ABC) \Rightarrow SA \bot AC$
Như vậy $SC = \sqrt {S{A^2} + A{C^2}} = \sqrt {S{A^2} + (A{B^2} + B{C^2})} = \sqrt 3 $
Chọn B
Câu 3: Cho hình chóp A.BCD có cạnh AC⊥(BCD) và BCD là tam giác đều cạnh bằng a. Biết $AC = a\sqrt 2 $ và M là trung điểm của BD. Khoảng cách từ C đến đường thẳng $AM$ bằng
A. $a\sqrt {\frac{7}{5}} .$
B. $a\sqrt {\frac{4}{7}} .$
C. $a\sqrt {\frac{6}{{11}}} .$
D. $a\sqrt {\frac{2}{3}} .$
Do $\Delta ABC$ đều cạnh a nên đường cao $MC = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$
$d\left( {C,AM} \right) = CH = \frac{{AC.MC}}{{\sqrt {A{C^2} + M{C^2}} }} = a\frac{{\sqrt {66} }}{{11}}$
Chọn C
Câu 4: Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh a. Trên tia Ax vuông góc với mặt phẳng (P) lấy điểm S sao cho SA = a. Khoảng cách từ A đến $\left( {SBC} \right)$ bằng
A. $a\sqrt 5 .$
B. 2a.
C. $\frac{{a\sqrt {21} }}{7}.$
D. $a\sqrt 3 .$
Gọi M là trung điểm của BC ; H là hình chiếu vuông góc của A trên $SM.$
Ta có $BC \bot AM$ và $BC \bot SA$ nên
$BC \bot \left( {SAM} \right) \Rightarrow BC \bot AH.$
Mà $AH \bot SM$, do đó $AH \bot \left( {SBC} \right)$.
Vậy $AH = d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right).$
$AM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2};{\rm{ }}AH = \frac{{AS.AM}}{{\sqrt {A{S^2} + A{M^2}} }} = \frac{{a\sqrt {21} }}{7}.$
Chọn C
Câu 5: Cho tứ diện $SABC$ trong đóSA, $SB$, $SC$ vuông góc với nhau từng đôi một và SA = 3a, SB = a,SC = 2a. Khoảng cách từ A đến đường thẳng BC bằng:
A. $\frac{{3a\sqrt 2 }}{2}$.
B. $\frac{{7a\sqrt 5 }}{5}$.
C. $\frac{{8a\sqrt 3 }}{3}$.
D. $\frac{{5a\sqrt 6 }}{6}$.
Câu 6: Cho hình chóp A.BCD có cạnh $AC \bot \left( {BCD} \right)$ và $BCD$ là tam giác đều cạnh bằng a. Biết $AC = a\sqrt 2 $ và M là trung điểm của BD. Khoảng cách từ C đến đường thẳng $AM$ bằng
A. $a\sqrt {\frac{2}{3}} $.
B. $a\sqrt {\frac{6}{{11}}} $.
C. $a\sqrt {\frac{7}{5}} $.
D. $a\sqrt {\frac{4}{7}} $.
Câu 7: Cho hình chóp S.ABCD có SA⊥(ABCD), đáy ABCD là hình chữ nhật. Biết $AD = 2a,$ $SA = a.$ Khoảng cách từ A đến $\left( {SCD} \right)$ bằng:
A. $\frac{{3a}}{{\sqrt 7 }}.$
B. $\frac{{3a\sqrt 2 }}{2}.$
C. $\frac{{2a}}{{\sqrt 5 }}.$
D. $\frac{{2a\sqrt 3 }}{3}.$
$SA \bot \left( {ABCD} \right)$ nên $SA \bot CD;{\rm{ }}AD \bot CD$.
Suy ra $\left( {SAD} \right) \bot CD$ Trong $\left( {SAD} \right)$ kẻ $AH$ vuông góc $SD$ tại H. Khi đó $AH \bot \left( {SCD} \right)$
$d\left( {A,\left( {SCD} \right)} \right) = AH = $ $\frac{{SA.AD}}{{\sqrt {S{A^2} + A{D^2}} }} = \frac{{a.2a}}{{\sqrt {{a^2} + {{(2a)}^2}} }} = \frac{{2a\sqrt 5 }}{5}.$.
Chọn C
Câu 8: Hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng 3a, cạnh bên bằng 2a. Khoảng cách từ S đến $\left( {ABC} \right)$ bằng :
A. 2a.
B. $a\sqrt 3 .$
C. a.
D. $a\sqrt 5 .$
Gọi O là chân đường cao của hình chóp.
Ta có $AO = \frac{2}{3}AH = \frac{2}{3}.3a.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3 $
${\rm{d}}\left( {O,(ABC)} \right) = SO = \sqrt {S{A^2} - A{O^2}} = a$
Chọn C
Câu 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng đáy, SA = a. Gọi M là trung điểm của CD. Khoảng cách từ M đến $\left( {SAB} \right)$ nhận giá trị nào trong các giá trị sau?
A. $\frac{{a\sqrt 2 }}{2}.$
B. 2a.
C. $a\sqrt 2 .$
D. a.
Khoảng cách từ M đến $\left( {SAB} \right)$: $d\left( {M,\left( {SAB} \right)} \right) = d\left( {D,\left( {SAB} \right)} \right) = a.$
Chọn D
Câu 10: Cho hình chóp A.BCDcó cạnh $AC \bot \left( {BCD} \right)$và $BCD$ là tam giác đều cạnh bằng a. Biết $AC = a\sqrt 2 $ và Mlà trung điểm của BD. Khoảng cách từ A đến đường thẳng BD bằng:
A. $\frac{{3a\sqrt 2 }}{2}$.
B. $\frac{{2a\sqrt 3 }}{3}$.
C. $\frac{{4a\sqrt 5 }}{3}$.
D. $\frac{{a\sqrt {11} }}{2}$.
Câu 11: Cho hình chóp S.ABCDcó $SA \bot \left( {ABCD} \right)$, đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng a và $\hat B = 60^\circ $. Biết $SA = 2a$. Tính khoảng cách từ A đến $SC$.
A. $\frac{{3a\sqrt 2 }}{2}$.
B. $\frac{{4a\sqrt 3 }}{3}$.
C. $\frac{{2a\sqrt 5 }}{5}$.
D. $\frac{{5a\sqrt 6 }}{2}$.
Câu 12: Cho hình chóp S.ABCD có $SA \bot \left( {ABCD} \right)$, $SA = 2a$, ABCD là hình vuông cạnh bằng a. Gọi O là tâm của ABCD, tính khoảng cách từ O đến $SC$.
A. $\frac{{a\sqrt 3 }}{3}$.
B. $\frac{{a\sqrt 3 }}{4}$.
C. $\frac{{a\sqrt 2 }}{3}$.
D. $\frac{{a\sqrt 2 }}{4}$.
Câu 13: Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a và góc hợp bởi một cạnh bên và mặt đáy bằng $\alpha $. Khoảng cách từ tâm của đáy đến một cạnh bên bằng
A. $a\sqrt 2 \cot \alpha $.
B. $a\sqrt 2 \tan \alpha $.
C. $\frac{{a\sqrt 2 }}{2}{\rm{cos}}\alpha $.
D. $\frac{{a\sqrt 2 }}{2}\sin \alpha $.
Câu 14: Cho hình chóp S.ABC trong đó SA, AB, BC vuông góc với nhau từng đôi một. Biết $SA = 3a$, $AB = a\sqrt 3 $, $BC = a\sqrt 6 $. Khoảng cách từ $B$ đến $SC$ bằng
A. $a\sqrt 2 $.
B. 2a.
C. $2a\sqrt 3 $.
D. $a\sqrt 3 $.
Câu 15: Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a và góc hợp bởi một cạnh bên và mặt đáy bằng $\alpha .$ Khoảng cách từ tâm của đáy đến một cạnh bên bằng:
A. $\frac{{a\sqrt 2 }}{2}$cosα
B. a$\sqrt 2 $tan
C. $\frac{{a\sqrt 2 }}{2}$sinα
D. a$\sqrt 2 $cotα
$AC = a\sqrt 2 \Rightarrow OC = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}$
Khoảng cách cần tìm là đoạn $OH$.
$OH = OC\sin \alpha = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\sin \alpha .$
Chọn C
Câu 16: Cho tứ diện ABCD có cạnh bên $AC$ vuông góc với mặt phẳng $(BCD)$ và $BCD$ là tam giác đều cạnh bằng a. Biết $AC = a\sqrt 2 $ và M là trung điểm của BD. Khoảng cách từ điểm C đến đường thẳng $AM$ bằng
A. $a\sqrt {\frac{2}{3}} $.
B. $a\sqrt {\frac{6}{{11}}} $.
C. $a\sqrt {\frac{7}{5}} $.
D. $a\sqrt {\frac{4}{7}} $.
Câu 17: Cho tứ diện ABCD có cạnh bên $AC$ vuông góc với mặt phẳng $(BCD)$ và $BCD$ là tam giác đều cạnh bằng a. Biết $AC = a\sqrt 2 $ và M là trung điểm của BD. Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BD bằng
A. $\frac{{3a\sqrt 2 }}{2}$.
B. $\frac{{2a\sqrt 3 }}{3}$.
C. $\frac{{4a\sqrt 5 }}{3}$.
D. $\frac{{a\sqrt {11} }}{2}$.
Câu 18: Cho hình chóp S.ABC trong đó $SA,{\rm{ }}AB,{\rm{ }}BC$ vuông góc với nhau từng đôi một. Biết $SA = 3a,$ $AB = a\sqrt 3 ,$ $BC = a\sqrt 6 .$ Khoảng cách từ $B$ đến $SC$ bằng
A. $a\sqrt 2 $.
B. 2a.
C. $2a\sqrt 3 $.
D. $a\sqrt 3 $.
Câu 19: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Khoảng cách từ đỉnh A của hình lập phương đó đến đường thẳng $CD'$ bằng
A. $a\sqrt 2 $.
B. $\frac{{a\sqrt 6 }}{2}$.
C. $\frac{{a\sqrt 3 }}{2}$.
D. $a\sqrt 3 $.
Gọi Mlà trung điểm của $CD'$. Do ABCD.A'B'C'D' là hình lập phương nên tam giác $ACD'$là tam giác đều cạnh $a\sqrt 2 $.
$AM \bot CD' \Rightarrow d\left( {A,CD'} \right) = AM = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}$
Chọn
B.
Câu 20: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Khoảng cách từ đỉnh A của hình lập phương đó đến đường thẳng $DB'$ bằng
A. $a\sqrt 2 $.
B. $\frac{{a\sqrt 6 }}{2}$.
C. $\frac{{a\sqrt 3 }}{2}$.
D. $\frac{{a\sqrt 6 }}{3}$.
Gọi Hlà chân đường vuông góc hạ từ Axuống $DB'$.
Dễ thấy $AD \bot \left( {ABB'A'} \right) \Rightarrow \Delta ADB'$vuông đỉnh A. $AD = a;AB' = a\sqrt 2 \Rightarrow \frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{D^2}}} + \frac{1}{{AB{'^2}}} \Rightarrow AH = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}$
Chọn D
Câu 21: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Khoảng cách từ ba điểm nào sau đây đến đường chéo AC' bằng nhau ?
A. A',B,C'.
B. B,C,D.
C. B',C',D'.
D. A,A',D'.
Dễ thấy các tam giác $ABC',C'CA,ADC'$là các tam giác vuông bằng nhau nên các đường cao hạ từ đỉnh góc vuông xuống canh huyền cũng bằng nhau.
Vậy: $d\left( {B,AC'} \right) = d\left( {C,AC'} \right) = d\left( {D,AC'} \right)$
Chọn B
Câu 22: Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau đây?
A. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm M bất kỳ trên mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.
B. Nếu hai đường thẳng a và b chéo nhau và vuông góc với nhau thì đường vuông góc chung của chúng nằm trong mặt phẳng (α) chứa đường này và (α) vuông góc với đường kia.
C. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b là khoảng cách từ một điểm M thuộc (α) chứa a và song song với b đến một điểm N bất kì trên b.
D. Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng (α) song song với a là khoảng cách từ một điểm A bất kì thuộc a tới mặt phẳng (α)
Câu 23: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau thì vuông góc với mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia
B. Một đường thẳng là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau nếu nó vuông góc với cả hai đường thẳng đó
C. Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau thì nằm trong mặt phẳng chứa đường thẳng này và vuông góc với đường thẳng kia
D. Một đường thẳng là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau nếu nó cắt cả hai đường thẳng đó.
Câu 24: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A. Nếu hai đường thẳng a và b chéo nhau và vuông góc với nhau thì đường thẳng vuông góc chung của chúng nằm trong mặt phẳng (P) chứa đường thẳng này và vuông góc với đường thẳng kia.
B. Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) song song với a là khoảng cách từ một điểm A bất kỳ thuộc a tới mp(P).
C. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b là khoảng cách từ một điểm M thuộc mặt phẳng (P) chứa a và song song với b đến một điểm N bất kỳ trên b.
D. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm M bất kỳ trên mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.
Bản đầy đủ các dạng vecto trong không gian
A. 2a.
B. 4a.
C. 3a.
D. 5a.
Kẻ $AH$ vuông góc với $BC:$ ${S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AH.BC \to AH = \frac{{2.{S_{\Delta ABC}}}}{{BC}} = \frac{{4{a^2}}}{a} = 4a$
Khoảng cách từ S đến BC chính là SH
Dựa vào tam giác vuông $\Delta SAH$ ta có $SH = \sqrt {S{A^2} + A{H^2}} = \sqrt {{{(3a)}^2} + {{(4a)}^2}} = 5a$
A. $\sqrt 2 .$
B. $\sqrt 3 .$
C. 2.
D. $\frac{{\sqrt 3 }}{2}.$
Do $\left\{ \begin{array}{l}SA \bot AB\\SA \bot BC\end{array} \right.$ nên $SA \bot (ABC) \Rightarrow SA \bot AC$
Như vậy $SC = \sqrt {S{A^2} + A{C^2}} = \sqrt {S{A^2} + (A{B^2} + B{C^2})} = \sqrt 3 $
Chọn B
A. $a\sqrt {\frac{7}{5}} .$
B. $a\sqrt {\frac{4}{7}} .$
C. $a\sqrt {\frac{6}{{11}}} .$
D. $a\sqrt {\frac{2}{3}} .$
Do $\Delta ABC$ đều cạnh a nên đường cao $MC = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$
$d\left( {C,AM} \right) = CH = \frac{{AC.MC}}{{\sqrt {A{C^2} + M{C^2}} }} = a\frac{{\sqrt {66} }}{{11}}$
Chọn C
A. $a\sqrt 5 .$
B. 2a.
C. $\frac{{a\sqrt {21} }}{7}.$
D. $a\sqrt 3 .$
Gọi M là trung điểm của BC ; H là hình chiếu vuông góc của A trên $SM.$
Ta có $BC \bot AM$ và $BC \bot SA$ nên
$BC \bot \left( {SAM} \right) \Rightarrow BC \bot AH.$
Mà $AH \bot SM$, do đó $AH \bot \left( {SBC} \right)$.
Vậy $AH = d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right).$
$AM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2};{\rm{ }}AH = \frac{{AS.AM}}{{\sqrt {A{S^2} + A{M^2}} }} = \frac{{a\sqrt {21} }}{7}.$
Chọn C
A. $\frac{{3a\sqrt 2 }}{2}$.
B. $\frac{{7a\sqrt 5 }}{5}$.
C. $\frac{{8a\sqrt 3 }}{3}$.
D. $\frac{{5a\sqrt 6 }}{6}$.
Chọn B
+ Dựng $AH \bot BC$ $ \Rightarrow d\left( {A,BC} \right) = AH$.
+ $\left\{ \begin{array}{l}AS \bot \left( {SBC} \right) \supset BC \Rightarrow AS \bot BC\\AH \bot BC\end{array} \right.$, $AH$cắt $AS$ cùng nằm trong $\left( {SAH} \right)$.
$ \Rightarrow BC \bot \left( {SAH} \right) \supset SH \Rightarrow BC \bot SH$.
Xét trong $\Delta SBC$ vuông tại S có $SH$ là đường cao ta có:
$\frac{1}{{S{H^2}}} = \frac{1}{{S{B^2}}} + \frac{1}{{S{C^2}}} = \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{4{a^2}}} = \frac{5}{{4{a^2}}}$ $ \Rightarrow S{H^2} = \frac{{4{a^2}}}{5}$ $ \Rightarrow SH = \frac{{2a\sqrt 5 }}{5}$.
+ Ta dễ chứng minh được $AS \bot \left( {SBC} \right) \supset SH \Rightarrow AS \bot SH$ $ \Rightarrow \Delta ASH$ vuông tại S.
Áp dụng hệ thức lượng trong $\Delta ASH$ vuông tại Sta có:
$A{H^2} = S{A^2} + S{H^2} = 9{a^2} + \frac{{4{a^2}}}{5} = \frac{{49{a^2}}}{5}$ $ \Rightarrow AH = \frac{{7a\sqrt 5 }}{5}$.
+ Dựng $AH \bot BC$ $ \Rightarrow d\left( {A,BC} \right) = AH$.
+ $\left\{ \begin{array}{l}AS \bot \left( {SBC} \right) \supset BC \Rightarrow AS \bot BC\\AH \bot BC\end{array} \right.$, $AH$cắt $AS$ cùng nằm trong $\left( {SAH} \right)$.
$ \Rightarrow BC \bot \left( {SAH} \right) \supset SH \Rightarrow BC \bot SH$.
Xét trong $\Delta SBC$ vuông tại S có $SH$ là đường cao ta có:
$\frac{1}{{S{H^2}}} = \frac{1}{{S{B^2}}} + \frac{1}{{S{C^2}}} = \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{4{a^2}}} = \frac{5}{{4{a^2}}}$ $ \Rightarrow S{H^2} = \frac{{4{a^2}}}{5}$ $ \Rightarrow SH = \frac{{2a\sqrt 5 }}{5}$.
+ Ta dễ chứng minh được $AS \bot \left( {SBC} \right) \supset SH \Rightarrow AS \bot SH$ $ \Rightarrow \Delta ASH$ vuông tại S.
Áp dụng hệ thức lượng trong $\Delta ASH$ vuông tại Sta có:
$A{H^2} = S{A^2} + S{H^2} = 9{a^2} + \frac{{4{a^2}}}{5} = \frac{{49{a^2}}}{5}$ $ \Rightarrow AH = \frac{{7a\sqrt 5 }}{5}$.
A. $a\sqrt {\frac{2}{3}} $.
B. $a\sqrt {\frac{6}{{11}}} $.
C. $a\sqrt {\frac{7}{5}} $.
D. $a\sqrt {\frac{4}{7}} $.
Chọn B
Dựng $CH \bot AM$ $ \Rightarrow d\left( {C,AM} \right) = CH$.
Vì $\Delta BCD$ là tam giác đều cạnh a và M là trung điểm của BD nên dễ tính được $CM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$.
Xét $\Delta ACM$ vuông tại C có CH là đường cao, ta có:
$\frac{1}{{C{H^2}}} = \frac{1}{{C{A^2}}} + \frac{1}{{C{M^2}}} = \frac{1}{{2{a^2}}} + \frac{1}{{\frac{{3{a^2}}}{4}}} = \frac{{11}}{{6{a^2}}}$ $ \Rightarrow C{H^2} = \frac{{6{a^2}}}{{11}}$ $ \Rightarrow CH = a\sqrt {\frac{6}{{11}}} $.
Dựng $CH \bot AM$ $ \Rightarrow d\left( {C,AM} \right) = CH$.
Vì $\Delta BCD$ là tam giác đều cạnh a và M là trung điểm của BD nên dễ tính được $CM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$.
Xét $\Delta ACM$ vuông tại C có CH là đường cao, ta có:
$\frac{1}{{C{H^2}}} = \frac{1}{{C{A^2}}} + \frac{1}{{C{M^2}}} = \frac{1}{{2{a^2}}} + \frac{1}{{\frac{{3{a^2}}}{4}}} = \frac{{11}}{{6{a^2}}}$ $ \Rightarrow C{H^2} = \frac{{6{a^2}}}{{11}}$ $ \Rightarrow CH = a\sqrt {\frac{6}{{11}}} $.
A. $\frac{{3a}}{{\sqrt 7 }}.$
B. $\frac{{3a\sqrt 2 }}{2}.$
C. $\frac{{2a}}{{\sqrt 5 }}.$
D. $\frac{{2a\sqrt 3 }}{3}.$
$SA \bot \left( {ABCD} \right)$ nên $SA \bot CD;{\rm{ }}AD \bot CD$.
Suy ra $\left( {SAD} \right) \bot CD$ Trong $\left( {SAD} \right)$ kẻ $AH$ vuông góc $SD$ tại H. Khi đó $AH \bot \left( {SCD} \right)$
$d\left( {A,\left( {SCD} \right)} \right) = AH = $ $\frac{{SA.AD}}{{\sqrt {S{A^2} + A{D^2}} }} = \frac{{a.2a}}{{\sqrt {{a^2} + {{(2a)}^2}} }} = \frac{{2a\sqrt 5 }}{5}.$.
Chọn C
A. 2a.
B. $a\sqrt 3 .$
C. a.
D. $a\sqrt 5 .$
Gọi O là chân đường cao của hình chóp.
Ta có $AO = \frac{2}{3}AH = \frac{2}{3}.3a.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3 $
${\rm{d}}\left( {O,(ABC)} \right) = SO = \sqrt {S{A^2} - A{O^2}} = a$
Chọn C
A. $\frac{{a\sqrt 2 }}{2}.$
B. 2a.
C. $a\sqrt 2 .$
D. a.
Khoảng cách từ M đến $\left( {SAB} \right)$: $d\left( {M,\left( {SAB} \right)} \right) = d\left( {D,\left( {SAB} \right)} \right) = a.$
Chọn D
A. $\frac{{3a\sqrt 2 }}{2}$.
B. $\frac{{2a\sqrt 3 }}{3}$.
C. $\frac{{4a\sqrt 5 }}{3}$.
D. $\frac{{a\sqrt {11} }}{2}$.
Chọn D
Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}AC \bot BD\\CM \bot BD\end{array} \right. \Rightarrow BD \bot AM$ (Định lý 3 đường vuông góc) $ \Rightarrow d\left( {A;BD} \right) = AM$.
$CM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$ (vì tam giác BCD đều).
Ta có: $AM = \sqrt {A{C^2} + M{C^2}} = \sqrt {2{a^2} + \frac{{3{a^2}}}{4}} = \frac{{a\sqrt {11} }}{2}$.
Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}AC \bot BD\\CM \bot BD\end{array} \right. \Rightarrow BD \bot AM$ (Định lý 3 đường vuông góc) $ \Rightarrow d\left( {A;BD} \right) = AM$.
$CM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$ (vì tam giác BCD đều).
Ta có: $AM = \sqrt {A{C^2} + M{C^2}} = \sqrt {2{a^2} + \frac{{3{a^2}}}{4}} = \frac{{a\sqrt {11} }}{2}$.
A. $\frac{{3a\sqrt 2 }}{2}$.
B. $\frac{{4a\sqrt 3 }}{3}$.
C. $\frac{{2a\sqrt 5 }}{5}$.
D. $\frac{{5a\sqrt 6 }}{2}$.
Chọn C
Kẻ $AH \bot SC$, khi đó $d\left( {A;SC} \right) = AH$.
ABCD là hình thoi cạnh bằng a và $\hat B = 60^\circ $∆ABC đều nên $AC = a$.
Trong tam giác vuông SACta có:
$\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}}$
$ \Rightarrow AH = \frac{{SA.AC}}{{\sqrt {S{A^2} + A{C^2}} }} = \frac{{2a.a}}{{\sqrt {4{a^2} + {a^2}} }} = \frac{{2\sqrt 5 a}}{5}$.
Kẻ $AH \bot SC$, khi đó $d\left( {A;SC} \right) = AH$.
ABCD là hình thoi cạnh bằng a và $\hat B = 60^\circ $∆ABC đều nên $AC = a$.
Trong tam giác vuông SACta có:
$\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}}$
$ \Rightarrow AH = \frac{{SA.AC}}{{\sqrt {S{A^2} + A{C^2}} }} = \frac{{2a.a}}{{\sqrt {4{a^2} + {a^2}} }} = \frac{{2\sqrt 5 a}}{5}$.
A. $\frac{{a\sqrt 3 }}{3}$.
B. $\frac{{a\sqrt 3 }}{4}$.
C. $\frac{{a\sqrt 2 }}{3}$.
D. $\frac{{a\sqrt 2 }}{4}$.
Chọn A
Kẻ $OH \bot SC$, khi đó $d\left( {O;SC} \right) = OH$. Ta có: $\Delta SAC \sim \Delta OCH$ (g-g) nên $\frac{{OH}}{{SA}} = \frac{{OC}}{{SC}} \Rightarrow OH = \frac{{OC}}{{SC}}.SA$.
Mà: $OC = \frac{1}{2}AC = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}$, $SC = \sqrt {S{A^2} + A{C^2}} = a\sqrt 6 $.
Vậy $OH = \frac{{OC}}{{SC}}.SA = \frac{a}{{\sqrt 3 }} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}$.
Kẻ $OH \bot SC$, khi đó $d\left( {O;SC} \right) = OH$. Ta có: $\Delta SAC \sim \Delta OCH$ (g-g) nên $\frac{{OH}}{{SA}} = \frac{{OC}}{{SC}} \Rightarrow OH = \frac{{OC}}{{SC}}.SA$.
Mà: $OC = \frac{1}{2}AC = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}$, $SC = \sqrt {S{A^2} + A{C^2}} = a\sqrt 6 $.
Vậy $OH = \frac{{OC}}{{SC}}.SA = \frac{a}{{\sqrt 3 }} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}$.
A. $a\sqrt 2 \cot \alpha $.
B. $a\sqrt 2 \tan \alpha $.
C. $\frac{{a\sqrt 2 }}{2}{\rm{cos}}\alpha $.
D. $\frac{{a\sqrt 2 }}{2}\sin \alpha $.
Chọn D
$SO \bot \left( {ABCD} \right)$, O là tâm của hình vuông ABCD.
Kẻ $OH \bot SD$, khi đó $d\left( {O;SD} \right) = OH$, $\alpha = \widehat {SDO}$.
Ta có: $OH = OD\sin \alpha = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\sin \alpha $.
$SO \bot \left( {ABCD} \right)$, O là tâm của hình vuông ABCD.
Kẻ $OH \bot SD$, khi đó $d\left( {O;SD} \right) = OH$, $\alpha = \widehat {SDO}$.
Ta có: $OH = OD\sin \alpha = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\sin \alpha $.
A. $a\sqrt 2 $.
B. 2a.
C. $2a\sqrt 3 $.
D. $a\sqrt 3 $.
Chọn B
Vì SA, AB, BC vuông góc với nhau từng đôi một nên $CB \bot SB$.
Kẻ $BH \bot SC$, khi đó $d\left( {B;SC} \right) = BH$.
Ta có: $SB = \sqrt {S{A^2} + A{B^2}} = \sqrt {9{a^2} + 3{a^2}} = 2\sqrt 3 a$.
Trong tam giác vuông $SBC$ta có:
$\frac{1}{{B{H^2}}} = \frac{1}{{S{B^2}}} + \frac{1}{{B{C^2}}}$$ \Rightarrow BH = \frac{{SB.BC}}{{\sqrt {S{B^2} + B{C^2}} }} = 2a$.
Vì SA, AB, BC vuông góc với nhau từng đôi một nên $CB \bot SB$.
Kẻ $BH \bot SC$, khi đó $d\left( {B;SC} \right) = BH$.
Ta có: $SB = \sqrt {S{A^2} + A{B^2}} = \sqrt {9{a^2} + 3{a^2}} = 2\sqrt 3 a$.
Trong tam giác vuông $SBC$ta có:
$\frac{1}{{B{H^2}}} = \frac{1}{{S{B^2}}} + \frac{1}{{B{C^2}}}$$ \Rightarrow BH = \frac{{SB.BC}}{{\sqrt {S{B^2} + B{C^2}} }} = 2a$.
A. $\frac{{a\sqrt 2 }}{2}$cosα
B. a$\sqrt 2 $tan
C. $\frac{{a\sqrt 2 }}{2}$sinα
D. a$\sqrt 2 $cotα
$AC = a\sqrt 2 \Rightarrow OC = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}$
Khoảng cách cần tìm là đoạn $OH$.
$OH = OC\sin \alpha = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\sin \alpha .$
Chọn C
A. $a\sqrt {\frac{2}{3}} $.
B. $a\sqrt {\frac{6}{{11}}} $.
C. $a\sqrt {\frac{7}{5}} $.
D. $a\sqrt {\frac{4}{7}} $.
Chọn B
Nối $CM$. Kẻ $CH \bot AM$
Suy ra $d(C;AM) = CH$
Xét $\Delta ACM$có
$\frac{1}{{C{H^2}}} = \frac{1}{{A{C^2}}} + \frac{1}{{C{M^2}}} = \frac{1}{{{{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}}} = \frac{{11}}{{6{a^2}}}$
$ \Rightarrow CH = a\sqrt {\frac{6}{{11}}} $
Vậy $d(C;AM) = CH = a\sqrt {\frac{6}{{11}}} $.
Nối $CM$. Kẻ $CH \bot AM$
Suy ra $d(C;AM) = CH$
Xét $\Delta ACM$có
$\frac{1}{{C{H^2}}} = \frac{1}{{A{C^2}}} + \frac{1}{{C{M^2}}} = \frac{1}{{{{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}}} = \frac{{11}}{{6{a^2}}}$
$ \Rightarrow CH = a\sqrt {\frac{6}{{11}}} $
Vậy $d(C;AM) = CH = a\sqrt {\frac{6}{{11}}} $.
A. $\frac{{3a\sqrt 2 }}{2}$.
B. $\frac{{2a\sqrt 3 }}{3}$.
C. $\frac{{4a\sqrt 5 }}{3}$.
D. $\frac{{a\sqrt {11} }}{2}$.
Chọn D
Ta có $d(A;BD) = \frac{{a\sqrt {11} }}{2}$ $AC \bot \left( {BCD} \right) \Rightarrow AC \bot BD$
Lại có với M là trung điểm BD mà $\Delta BCD$ đều nên $CM \bot BD$
Từ đó ta có $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{AC \bot BD}\\{CM \bot BD}\end{array}} \right. \Rightarrow AM \bot BD$
Suy ra $d(A;BD) = AM$
Xét tam giác vuông $ACM$, ta có
$AM = \sqrt {A{C^2} + C{M^2}} = \sqrt {{{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2} + {{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt {11} }}{2}$
Vậy $d(A;BD) = \frac{{a\sqrt {11} }}{2}$.
Ta có $d(A;BD) = \frac{{a\sqrt {11} }}{2}$ $AC \bot \left( {BCD} \right) \Rightarrow AC \bot BD$
Lại có với M là trung điểm BD mà $\Delta BCD$ đều nên $CM \bot BD$
Từ đó ta có $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{AC \bot BD}\\{CM \bot BD}\end{array}} \right. \Rightarrow AM \bot BD$
Suy ra $d(A;BD) = AM$
Xét tam giác vuông $ACM$, ta có
$AM = \sqrt {A{C^2} + C{M^2}} = \sqrt {{{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2} + {{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt {11} }}{2}$
Vậy $d(A;BD) = \frac{{a\sqrt {11} }}{2}$.
A. $a\sqrt 2 $.
B. 2a.
C. $2a\sqrt 3 $.
D. $a\sqrt 3 $.
Chọn B
Ta có $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{SA \bot AB}\\{AB \bot BC}\end{array}} \right. \Rightarrow SB \bot BC$
Suy ra $\Delta SBC$ vuông tại $B$
Kẻ $BH \bot SC$. Ta có $d(B;SC) = BH$
Lại có
$\frac{1}{{B{H^2}}} = \frac{1}{{S{B^2}}} + \frac{1}{{B{C^2}}} = \frac{1}{{S{A^2} + A{B^2}}} + \frac{1}{{B{C^2}}} = \frac{1}{{4{a^2}}}$
$ \Rightarrow d(B;SC) = BH = 2a$.
Ta có $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{SA \bot AB}\\{AB \bot BC}\end{array}} \right. \Rightarrow SB \bot BC$
Suy ra $\Delta SBC$ vuông tại $B$
Kẻ $BH \bot SC$. Ta có $d(B;SC) = BH$
Lại có
$\frac{1}{{B{H^2}}} = \frac{1}{{S{B^2}}} + \frac{1}{{B{C^2}}} = \frac{1}{{S{A^2} + A{B^2}}} + \frac{1}{{B{C^2}}} = \frac{1}{{4{a^2}}}$
$ \Rightarrow d(B;SC) = BH = 2a$.
A. $a\sqrt 2 $.
B. $\frac{{a\sqrt 6 }}{2}$.
C. $\frac{{a\sqrt 3 }}{2}$.
D. $a\sqrt 3 $.
Gọi Mlà trung điểm của $CD'$. Do ABCD.A'B'C'D' là hình lập phương nên tam giác $ACD'$là tam giác đều cạnh $a\sqrt 2 $.
$AM \bot CD' \Rightarrow d\left( {A,CD'} \right) = AM = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}$
Chọn
B.
A. $a\sqrt 2 $.
B. $\frac{{a\sqrt 6 }}{2}$.
C. $\frac{{a\sqrt 3 }}{2}$.
D. $\frac{{a\sqrt 6 }}{3}$.
Gọi Hlà chân đường vuông góc hạ từ Axuống $DB'$.
Dễ thấy $AD \bot \left( {ABB'A'} \right) \Rightarrow \Delta ADB'$vuông đỉnh A. $AD = a;AB' = a\sqrt 2 \Rightarrow \frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{D^2}}} + \frac{1}{{AB{'^2}}} \Rightarrow AH = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}$
Chọn D
A. A',B,C'.
B. B,C,D.
C. B',C',D'.
D. A,A',D'.
Dễ thấy các tam giác $ABC',C'CA,ADC'$là các tam giác vuông bằng nhau nên các đường cao hạ từ đỉnh góc vuông xuống canh huyền cũng bằng nhau.
Vậy: $d\left( {B,AC'} \right) = d\left( {C,AC'} \right) = d\left( {D,AC'} \right)$
Chọn B
A. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm M bất kỳ trên mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.
B. Nếu hai đường thẳng a và b chéo nhau và vuông góc với nhau thì đường vuông góc chung của chúng nằm trong mặt phẳng (α) chứa đường này và (α) vuông góc với đường kia.
C. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b là khoảng cách từ một điểm M thuộc (α) chứa a và song song với b đến một điểm N bất kì trên b.
D. Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng (α) song song với a là khoảng cách từ một điểm A bất kì thuộc a tới mặt phẳng (α)
Chọn A
A. Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau thì vuông góc với mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia
B. Một đường thẳng là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau nếu nó vuông góc với cả hai đường thẳng đó
C. Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau thì nằm trong mặt phẳng chứa đường thẳng này và vuông góc với đường thẳng kia
D. Một đường thẳng là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau nếu nó cắt cả hai đường thẳng đó.
Đáp án A: Đúng
Đáp án B: Sai, do phát biểu này thiếu yếu tố cắt nhau.
Đáp án C: Sai, vì mặt phẳng đó chưa chắc đã tồn tại.
Đáp án D: Sai, do phát biểu này thiếu yếu tố vuông góc.
Chọn D
Đáp án B: Sai, do phát biểu này thiếu yếu tố cắt nhau.
Đáp án C: Sai, vì mặt phẳng đó chưa chắc đã tồn tại.
Đáp án D: Sai, do phát biểu này thiếu yếu tố vuông góc.
Chọn D
A. Nếu hai đường thẳng a và b chéo nhau và vuông góc với nhau thì đường thẳng vuông góc chung của chúng nằm trong mặt phẳng (P) chứa đường thẳng này và vuông góc với đường thẳng kia.
B. Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) song song với a là khoảng cách từ một điểm A bất kỳ thuộc a tới mp(P).
C. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b là khoảng cách từ một điểm M thuộc mặt phẳng (P) chứa a và song song với b đến một điểm N bất kỳ trên b.
D. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm M bất kỳ trên mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.
Chọn C
Bản đầy đủ các dạng vecto trong không gian
Sửa lần cuối: