Dạng 1. Tính đạo hàm của hàm số tại một điểm (p1)

Phương pháp áp dụng
Cho hàm số: y = f(x). Để tính đạo hàm của hàm số tại điểm x$_0$, ta xác định: f '(x$_0$) = $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}}$.

Thí dụ 1: Tìm số gia của hàm số y = x$^2$ - 1 tại điểm x$_0$ = 1 ứng với số gia Δx, biết:
a. Δx = 1.
b. Δx = -0,1.
Ta có: Δy = f(x$_0$ + Δx) - f(x$_0$).
a. Với x$_0$ = 1; $\Delta x$ = 1 thì: f(x$_0$) = f(1) = 0, f(x$_0$ + Δx) = f(1 + 1) = f(2) = 3, từ đó suy ra: Δy = f(x$_0$ + Δx) - f(x$_0$) = 3 - 0 = 3.
b. Với x$_0$ = 1; $\Delta x$ = -0,1 thì: Δy = f(x$_0$ + Δx) - f(x$_0$) = f(1 -0,1) - f(1) = 0,9$^2$ - 1 = -0,19.

Thí dụ 2: Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của mỗi hàm số tại điểm x$_0$:
a. y = 2x + 1 tại x$_0$ = 2.
b. y = x$^2$ + x tại x$_0$ = 1.
a. Ta có thể trình bày theo hai cách sau:
Cách 1: Ta có: y'(2) = $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{f(x) - f(2)}}{{x - 2}}$ = $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{2x + 1 - 5}}{{x - 2}}$ = 2.
Cách 2: Ta lần lượt có: Δy = f(x$_0$ + Δx) - f(x$_0$) = f(2 + Δx) - f(2) = [2(2 + Δx) + 1] - 5 = 2Δx,
y'(2) = $\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} $$\frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}$ = $\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} $(2Δx) = 2.
b. Ta có thể trình bày theo hai cách sau:
Cách 1: Ta có: y'(1) = $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f(x) - f(1)}}{{x - 1}}$ = $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} + x - 2}}{{x - 1}}$ = $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} (x + 2)$ = 3.
Cách 2: Ta lần lượt có: Δy = f(x$_0$ + Δx) - f(x$_0$) = f(1 + Δx) - f(1) = [(1 + Δx)$^2$ + (1 + Δx)] - 2 = (Δx)$^2$ + 3Δx,
y'(1) = $\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} $$\frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}$ = $\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} $(Δx + 3) = 3.
* Nhận xét: Như vậy, việc tìm đạo hàm bằng định nghĩa liên quan mật thiết với bài toán tính giới hạn của hàm số. Do đo, các em học sinh cần ôn lại các phướng pháp tính giới hạn cùng với các dạng giới hạn cơ bản.

Thí dụ 3: Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số:
a. y = $\frac{{x + 1}}{{x - 1}}$ tại điểm x$_0$ = 0.
b. y = $\sqrt {2x + 7} $ tại điểm x$_0$ = 1.
a. Ta có: y'(0) = $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f(x) - f(0)}}{{x - 0}}$ = $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{{x + 1}}{{x - 1}} + 1}}{x}$ = $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{2}{{x - 1}}$ = -2.
b. Ta có:
y'(1) = $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f(x) - f(1)}}{{x - 1}}$ = $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt {2x + 7} - 3}}{{x - 1}}$ = $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{2x + 7 - 9}}{{(x - 1)(\sqrt {2x + 7} + 3)}}$
= $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{2}{{\sqrt {2x + 7} + 3}}$ = $\frac{1}{3}$.